ЗЛО. Потоки отказов
При эксплуатации восстанавливаемых систем наблюдается поток отказов. Под потоком отказов понимается последовательность отказов, происходящих один за другим в случайные моменты времени.
Поток отказов называется входным потоком, а поток восстановлений (моменты устранений отказов) называется выходным потоком.
Математическое описание реальных потоков отказов является весьма сложной задачей. Однако многие из них можно заменить потоками, которые обладают свойствами, позволяющими найти более простые способы их изучения. Рассмотрим потоки, обладающие этими интересными свойствами.
1. Поток отказов называется стационарным, если вероятность появления того или иного числа отказов на интервале времени длиной “ зависит только от длины интервала и не
imuiau or того, где именно на оси 0—f расположен этот ин — Iецннл (рнс. 3.17).
2. Поток отказов называется потоком без последействия, ли для любых неперекрывающнхся интервалов времени чис — ‘ю отказов, появляющихся на одном из них (т), не зависит 1,1 числа отказов, появляющихся на других (х, у), (рис. 3.18).
г
Рис. 3.18. К определению потока отказов без после-
действия
3. Поток отказов называется ординарным, если вероятность появления на элементарном интервале At двух и более ні пазов пренебрежимо мала по сравнению с вероятностью появления одного отказа (рис. 3.19). Наиболее важной характеристикой потока отказов является параметр потока to (t), рас — могренный выше.
"•у— * о о О" ‘Hot " ** **
Рис. 3.19. К определению ординарности потока от- . казов
Для расчета и анализа надежности авиационной техники Ипн’рес представляет рассмотрение, в какой мере условия гициопарности, беспоследействия н ординарности соответст — Нюг реальным потокам отказов, а также за счет каких фак — fripoB они могут быть нарушены.
1. Условию стационарности удовлетворяет поток отка — п н (повреждений), вероятностные характеристики которого їв — ипщеят от времени В частности, для стационарного потоки но параметр остается постоянным па всем стационарном ншервале со —const. Это значит, что вероятность безотказной |щ1юп»! на данном интервале t, t + t не зависит от времени
предшествующей работы t7 а зависит только от длины шпор вала т. Наличие свойства стационарности значительно обличает изучение потока отказов. Действительно, если известен характер потока отказов, появляющихся в данной системе с некоторого начального момента /=0, то для того, чтобы получить характеристики потока, начиная с момента t~xy нет необходимости изучать этот поток заново. Можно’ воспользоваться характеристиками потока, полученными ранее. Свойством стационарности обладают реальные потоки внезапных отказов, если система прошла хорошую приработку, ио еще нс выработала межремонтного ресурса. В этом интервале, как было рассмотрено выше, проявляется эргодическое свойство стационарных потоков. В потоках отказов, которые появляются в период, продолжающийся с момента изготовления системы до момента ее полного физическою износа, нарушение условия стационарности наблюдается в начале эксплуатации, когда силен поток приработочных отказов, а также за пределами технического ресурса, когда усиливается поток отказов по износу.
В период технического ресурса наблюдаются случаи нарушения стационарности. Так, в некоторых сложных автоматических системах, таких, как, например, топливная автоматика ТРД или ТВД, отдельные ее элементы работают неодновременно в течение полета. Это означает, что вероятность внезапного отказа зависит от места расположения интервала работы элементов на оси времени. Условие стационарности может также нарушаться при эксплуатации систем на нерасчетных режимах. Таким образом, в действительности все «стационарные» потоки полностью стационарны лишь’ на ограниченном интервале времени, а распространение этого интервала до бесконечности — это лишь прием, применяемый в целях упрощения анализа и расчета. Более того, как видно из рис. 3.6, даже на ограниченных интервалах стационарности в реальных потоках наблюдается колебание со. Поэтому — при анализе характеристики P(t) для соблюдения условия стационарности приходится исходить из среднего значения параметра потока отказов
П
где п — число интервалов
2. Условие отсутствия последействия является наиболее ) явственным для возможности упрощения математического
описання потоков.
Полное соблюдение условия беспоследействия встречается, і’.тример, в потоках внезапных отказов восстанавливаемых петом, элементы которых соединены одиночно, а устранение внезапных отказов организовано таким образом, что система никогда не функционирует с отказавшими элементами.
Случаев нарушений этого условия можно привести доста — пятое количество. Например, при постепенном изменении параметров, определяющих работоспособность одних элементов, ■■ «меняется режим работы соседних с ними элементов, и отказ одних элементов вызывает снижение вероятности безотказной работы других. Отказы из-за износа или старения до определенного момента’ их развития никак внешне не проявляются, н заметить их можно только после частичной нлн полной разборки системы, что в условиях эксплуатации самолетов зачастую делать невозможно. Поэтому весь период развития подобных отказов до их обнаружения является периодом вредного влияния изношенного элемента на другие элементы. Это нежелательное влияние может, в частности, выражаться в том, что остальные элементы работают на режимах, превышающих расчетные. Таким образом, поток отказов сложной сн — исмы, еелн в нем преобладают постепенные отказы, является потоком с последействием.
Внезапные отказы одних элементов также могут изменить режим работы других элементов. Однако внезапные отказы в іімоке могут хорошо проявляться в виде внешних признаков ненормальной работы при функционировании системы. Если ісхник самолета сразу обнаружит и устранит отказ элемента, к» последующие отказы будут появляться в потоке без последействия. Это очень важный момент в построении всего комплекса технического обслуживания самолетов, поскольку всякне отклонения от него делают невозможным обоснованное планирование периодических проверок технического состояния и профнлактик авиационной техники.
3. Условие ординарности потока отказов означает невоз — Мпжность появлення в один н тот же момент времени более и того отказа.
Простейший поток. Простейшим потоком отказов иазыва — і і си поток, одновременно обладающий свойствами стационар — ногтн, ординарности н отсутствия последействия. Простейший ннтк отказов вызывает особый интерес, поскольку близкие
97
к нему нс структуре потоки отказов встречаются в реальных условиях эксплуатации авиационной техники.
Простейший поток обладает следующими важными свойствами:
1. Отказы, образующие простейший поток, распределены по закону Пуассона, т. е.
где Qn(t) — вероятность возникновения в течение времени t ровно п-отказов; со — параметр потока отказов.
2. Закон распределения интервалов времени между соседними отказами является показательным, т. е.
Q(0= 1-е-‘.
3. Плотность распределения интервалов времени между соседними отказами определяется выражением
4. Плотность распределения интервалов времени от начала наблюдения за эксплуатацией элемента до его к-го отказа определяется формулой
т. е. представляет собой гамма-распределение.
Нестационарный пуассоновский поток. Поток отказов, который обладает свойством ординарности и беспоследействия, но не обладает свойством стационарности, называется нестационарным пуассоновским потоком.
Для такого потока число отказов п, появляющихся на интервале времени і, который начинается в момент /, подчиняется закону Пуассона:
0. (*.«) =
і iccb П(/,т) —среднее число отказов на интервале от і до І т, равное
/-f-T
Q(t,~) = J і» (t)lit, (3.27)
О
где 0,(/)—среднее число отказов в единицу времени (параметр иогока).
Величина П(/, г) зависит не только от длины интервала по и от его положения на оси Ctf.
Поток с ограниченным последействием (поток Пальма). Поток отказов называется потоком с ограниченным последействием, если интервалы времени между последовательными отказами в моменты t, /2, ..tt (рис. 3.20) представляют собой независимые случайные величины.
х г Рис. 3.20. Поток отказов с ограниченным последействием |
Потоки с ограниченным последействием представляют большой интерес, так как выходные потоки систем массового обслуживания обладают в различной степени свойством последействия. Например, поток восстановлений отка — ыгшшх элементов авиационной техники представляет собой поток с ограниченным последействием.
Интерес к структуре выходных потоков объясняется в первую очередь тем, что выходные потоки являются потоками моментов окончаний обслуживания требований (восстановлении работоспособности, окончаний подготовок к полету
Я I. л.).
Па примере потока отказов однотипных элементов восста — н. шливаемой системы можно объяснить, почему именно вы — чочпые потоки характеризуются ограниченным последействием. Допустим, что с момента /о = 0 (см. рис. 3.20) работает •лемент, который отказывает в момент U н мгновенно заменяется на новый, работоспособный элемент, который отказывает в момент t2 и также мгновенно заменяется. Затем при е іедуюших отказах в моменты t3, th…, U . th ti A вновь rip изводится мгновенная замена отказавших элементов на новые и т. д. При этих условиях рассмотрим произвольный пнгервал времени между двумя отказами —равный
"с. Пусть последний отказ до этого интервала имел место в момент tt-1 (следовательно, внутри интервала t,— ti-1, равного х, отказов не было). Предыдущие отказы были в моменты 4-2, 4-з, …, t„ h, tv Найдем вероятность Q (т) появлення отказа в интервале 4-м —
Обозначим через Р{х) вероятность безотказной работы элемента в течение времени х. Тогда по теореме умножения вероятностей имеем
P(* + t)~P(jc)/>(*), но P(T)-1-Q(T),
Р(х •+• т)
Отсюда видно, что вероятность появления отказа после момента 4 зависит от расстояния х до последнего отказа (в момент 4-і)» но не зависит от того, в какие моменты /4, 4, 4, t были другие отказы. Здесь последействие ограничено влиянием лишь одного последнего отказа (в момент 4-і).